Anasayfa
KÜMELER
Küme matematikte tanımsız olarak kabul edilen kavramlarından biridir.
Ancak sezgisi olarak kümenin ne ifade ettiği de anlaşılmalıdır.
Belirli ve birbirinden farklı nesnelerin küme oluşturduğunu anlarız.
Kümeler genel olarak “A,B,C…” gibi büyük harflerle gösterilir.
Elemanları dediğimiz nesneleri de küçük harflerle gösterilir. Bir “A” kümesine ait “a” elemanı “a Î A” şeklinde yazılır.
Kümelerin Gösterimi
1.Liste Yöntemi:
Kümeye ait olan elemanlari açık olarak belirtme yöntemidir.Kümeye ait olan öğeler kümenin içersine yazılarak gösterilir.
Örnek: A={ Ahmet , Ali , Mehmet , a , b , c }
2.Ortak Özellik Yöntemi:
Bir kümenin özelliklerini
belirterek yazma yöntemidir. Küme ortrak özellik yöntemi ile; { x : x…
koşulunu sağlar } = {x | x…. koşulunu sağlar } biçiminde gösterilir.
Örnek: A={x | x , 6’nın pozitif tam böleni ve x Î Z } kümesini liste yöntemiyle gösterelim.
A = { 1 , 2 , 3 , 6 }
3.Şema Yöntemi (Venn Şeması)
Küme öğelerinin kapalı bir şekil içersinde gösterme yöntemidir.
Örnek: A={ x : | x – 2 | £ 1 , x Î } kümesinin elemanlarini şema yöntemiyle yazalım.
| x – 2 | £ 1 A
-1 £ x – 2 £ 1
£ x £ 3
A={ 1 , 2 3 }
SONLU ve SONSUZ KÜMELER:
Tanım: Eleman sayısı sonlu olan kümeye sonlu küme,eleman sayısı sonlu olmayan kümeye sonsuzküme denir.
Örnek: A = { x : -1 £ x < 20 , x Î Z } kümesinde s(A) =21 oduğundan A kümesi sonlu kümedir.
A = { x: -2 £ x £ 4 , x Î Z } kümesinin sonlu saydia elemanı yoktu. Bu nedenle A kümesi sonsuz kümedir.
Hatırlatma
Doğal sayılar kümesi “N” ile gösterilir.
N = { 0 , 1 , 2 , … , n , … }
Tam sayılar kümesi “Z” ile gösterilir.
Z = { … , -n , … , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , … , n , … }
Rasyonel sayılar kümesi “Q” ile gösterilir.
Q = { a/b: a Î Z , b Î Z , b ¹ 0 }
Reel (Gerçek,Gerçel Sayılar) kümesi “R” ile gösterilir.
BOŞ KÜME:
Tanım: Elemanı olmayan kümeye BOŞ KÜME denir. f veya { } sembollerinden biriyle gösterilir.
Örnek: A = { x: x = - 1 , x Î R } kümesi boş kümedir. Çünkü karesi “-1” olan reel sayı yoktur.
UYARI:
{ f } boş küme değildir , tek elemanlı kümedir.
{ 0 } kümesi boş küme değildir.
Boş küme bir tanedir.
EŞİT KÜMELER:
Tanım: Aynı elemanlardan oluşan kümeye eşit kümeler denir. A ve B
eşit kümeler ise “ A = B “ ile , A ve B eşit değilse “ A ¹ B “ ile
gösterilir.
Örnek: A = { a , b , 2 } , B = { b , 2 , a }
A = B ‘ dir
DENK KÜMELER:
Tanım: Eleman sayıları eşit olan iki kümeye denk kümeler denir.
Örnek: A= { 1 , 0 , -1 } B = { a , b , c } A ¹ B dir fakat s(A) = s(B) = 3 olduğundan A ve B denk kümelerdir.
UYARI: Liste yöntemi ile yazılan bir kümede yazılış sırası değiştirğinde küme değişmez.
ALT KÜME:
Bir “A” kümesinde bulunan B
Her eleman aynı zamanda “B” kü-
mesinde eleman ise “A” kümesi “B” A
kümesinin alt kümesidir denir ve
“A Ì B “ ifadesi ile gösterilir.
“A Ì B “ ifadesi A alt küme B yada
“B” “A’yı” kapsar biçiminde okunur.
"x Î A , x Î B ise A Ì B ‘dir.
A Ì B
Örnek: A = { -1 , 2 , 3 } B = { -1 , 3 , 6 , 5 , 2 , 7 } ise
A Ì B ‘dir.
Alt Kümenin Özellikleri:
Her “ A” kümesi için F Ì A ‘dır.(Çünkü F ‘ye ait olup A ‘ ya ait olmayan eleman yoktur.
Her “A” kümesi için A Ì A ‘dır. (Her x Î A için x Î A olduğundan A Ì A ‘dır. )
A , B , C kümeleri için ( A Ì B ve B Ì C) Þ A Ì C ‘dir.
(A Ì B ve B Ì A) Û A = B ‘ dir.
Küme matematikte tanımsız olarak kabul edilen kavramlarından biridir.
Ancak sezgisi olarak kümenin ne ifade ettiği de anlaşılmalıdır.
Belirli ve birbirinden farklı nesnelerin küme oluşturduğunu anlarız.
Kümeler genel olarak “A,B,C…” gibi büyük harflerle gösterilir.
Elemanları dediğimiz nesneleri de küçük harflerle gösterilir. Bir “A” kümesine ait “a” elemanı “a Î A” şeklinde yazılır.
Kümelerin Gösterimi
1.Liste Yöntemi:
Kümeye ait olan elemanlari açık olarak belirtme yöntemidir.Kümeye ait olan öğeler kümenin içersine yazılarak gösterilir.
Örnek: A={ Ahmet , Ali , Mehmet , a , b , c }
2.Ortak Özellik Yöntemi:
Bir kümenin özelliklerini
belirterek yazma yöntemidir. Küme ortrak özellik yöntemi ile; { x : x…
koşulunu sağlar } = {x | x…. koşulunu sağlar } biçiminde gösterilir.
Örnek: A={x | x , 6’nın pozitif tam böleni ve x Î Z } kümesini liste yöntemiyle gösterelim.
A = { 1 , 2 , 3 , 6 }
3.Şema Yöntemi (Venn Şeması)
Küme öğelerinin kapalı bir şekil içersinde gösterme yöntemidir.
Örnek: A={ x : | x – 2 | £ 1 , x Î } kümesinin elemanlarini şema yöntemiyle yazalım.
| x – 2 | £ 1 A
-1 £ x – 2 £ 1
£ x £ 3
A={ 1 , 2 3 }
SONLU ve SONSUZ KÜMELER:
Tanım: Eleman sayısı sonlu olan kümeye sonlu küme,eleman sayısı sonlu olmayan kümeye sonsuzküme denir.
Örnek: A = { x : -1 £ x < 20 , x Î Z } kümesinde s(A) =21 oduğundan A kümesi sonlu kümedir.
A = { x: -2 £ x £ 4 , x Î Z } kümesinin sonlu saydia elemanı yoktu. Bu nedenle A kümesi sonsuz kümedir.
Hatırlatma
Doğal sayılar kümesi “N” ile gösterilir.
N = { 0 , 1 , 2 , … , n , … }
Tam sayılar kümesi “Z” ile gösterilir.
Z = { … , -n , … , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , … , n , … }
Rasyonel sayılar kümesi “Q” ile gösterilir.
Q = { a/b: a Î Z , b Î Z , b ¹ 0 }
Reel (Gerçek,Gerçel Sayılar) kümesi “R” ile gösterilir.
BOŞ KÜME:
Tanım: Elemanı olmayan kümeye BOŞ KÜME denir. f veya { } sembollerinden biriyle gösterilir.
Örnek: A = { x: x = - 1 , x Î R } kümesi boş kümedir. Çünkü karesi “-1” olan reel sayı yoktur.
UYARI:
{ f } boş küme değildir , tek elemanlı kümedir.
{ 0 } kümesi boş küme değildir.
Boş küme bir tanedir.
EŞİT KÜMELER:
Tanım: Aynı elemanlardan oluşan kümeye eşit kümeler denir. A ve B
eşit kümeler ise “ A = B “ ile , A ve B eşit değilse “ A ¹ B “ ile
gösterilir.
Örnek: A = { a , b , 2 } , B = { b , 2 , a }
A = B ‘ dir
DENK KÜMELER:
Tanım: Eleman sayıları eşit olan iki kümeye denk kümeler denir.
Örnek: A= { 1 , 0 , -1 } B = { a , b , c } A ¹ B dir fakat s(A) = s(B) = 3 olduğundan A ve B denk kümelerdir.
UYARI: Liste yöntemi ile yazılan bir kümede yazılış sırası değiştirğinde küme değişmez.
ALT KÜME:
Bir “A” kümesinde bulunan B
Her eleman aynı zamanda “B” kü-
mesinde eleman ise “A” kümesi “B” A
kümesinin alt kümesidir denir ve
“A Ì B “ ifadesi ile gösterilir.
“A Ì B “ ifadesi A alt küme B yada
“B” “A’yı” kapsar biçiminde okunur.
"x Î A , x Î B ise A Ì B ‘dir.
A Ì B
Örnek: A = { -1 , 2 , 3 } B = { -1 , 3 , 6 , 5 , 2 , 7 } ise
A Ì B ‘dir.
Alt Kümenin Özellikleri:
Her “ A” kümesi için F Ì A ‘dır.(Çünkü F ‘ye ait olup A ‘ ya ait olmayan eleman yoktur.
Her “A” kümesi için A Ì A ‘dır. (Her x Î A için x Î A olduğundan A Ì A ‘dır. )
A , B , C kümeleri için ( A Ì B ve B Ì C) Þ A Ì C ‘dir.
(A Ì B ve B Ì A) Û A = B ‘ dir.
