2. Dereceden Bilinmeyenli Denklemler

[AsiRuH]

İkinci Dereceden Denklemler
İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
TANIMLAR :
a, b, c  R ve a  0 olmak üzere ax2 + bx +c  0 denklemine, ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
Bu denklemdeki a, b, c gerçel sayılarına katsayılar, x’e bilinmeyen denir.
Bu denklemi gerçekleyen gerçel sayılara denklemin gerçel kökleri, denklemin köklerini bulma işlemine denklemin çözümü denir.
Denklemin köklerinin kümesine de denklemin çözüm kümesi denir.
UYARI

Ayrıca belirtilmedikçe, denklemin çözüm kümesi denildiğinde, denklemin R deki çözüm kümesi anlaşılacaktır.

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ
İlk olarak ax2 + bx + c  0 denklemini çarpanlarına ayırarak çözebiliriz.

ÖRNEKLER :
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
1. 3x2 – 5x  0 2. x2 – x – 6  0 3. 2x2 + x – 1  0
ÇÖZÜMLER :
1. 3x2 – 5x  0 2. x2  x  6  0 3. 2x2  x  1  0
x . (3x – 5)  0 (x  3) . ( x  2)  0 (x  1) . (2x  1)  0
x  0 V 3x – 5  0 x  3  0 V x  2  0 x  1  0 V 2x  1  0
x  x  3 x  2 x  1 x 
Ç  { 0, } Ç  {2,3} Ç  {1, }
ax2  bx  c  0 DENKLEMİNİN GENEL ÇÖZÜMÜ (FORMÜLLE ÇÖZÜM)
ax2  bx  c  0 ikinci dereceden denklemi düzenlenirse;

ax2  bx  c  a  a
(x’in katsayısının yarısının karesi eklenip çıkarıldı).




 a  0 ise

 

 



o halde x1 ve x2= elde edilir.
Bu kökler gerçel sayı ise b2  4ac  0 olması gerekir.


TANIM :

ax2 + bx  c  0 denkleminde b2  4ac ifadesine denklemin diskriminantı denir ve  ile gösterilir.

Denklemin kökleri ise x1 formülleri ile bulunur.

Bu kökler kısaca, biçiminde yazılır.

İrdeleme: ax2  bx  c  0 denkleminde   b2  4ac iken
1.   0 ise denklemin birbirinden farklı iki gerçel kökü vardır.

Bunlar x1  dır.


UYARI
a ile c gerçel sayıları ters işaretli ise   0 dır.

2.   0 ise denklemin birbirine eşit iki gerçel kökü vardır. Bu durumda denklemin çakışık iki kökü vardır ya da iki kat kökü vardır da denir.

Bunlar dır.

  0 olduğundan (ax2  bx  c) ifadesi tamkare olur.

3.   0 ise denklemin gerçel kökü yoktur. Denklemin R deki çözüm kümesi  dir.
İNDİRGENMİŞ DİSKRİMİNANT (YARIM FORMÜL)

ax2  bx  c  0 denkleminde b çift iken kullanılabilir. b’  Bu durumda, ’  (b’)2  ac

x1

ÖRNEKLER :
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümlerini bulunuz.

1. x2  3x  1  0 2. 2x2  3x  10  0 3. x2  2

ÇÖZÜMLER :

1. x2  3x  1  0 2. 2x2  3x  10  0
a  1, b  3, c  1 a  2, b   3, c 10
  (3)2  4(1) (1)  9  4  13   (3)2  4.2.10  9  80  71
  0 olduğundan Ç   dir.
x1,2 

Ç 


2. x2  2  3  0
a  1, b  2 , c  3

b’ 

’ 

x1,2 

Ç 


İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLERE DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN DENKLEMLER:

A) ÇARPANLARINA AYRILABİLEN DENKLEMLER

P(x).Q(x)  0  P(x)  0 V Q(x)  0


ÖRNEKLER :
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
1. 2x3  3x2  18x  27  0 2. 3(x  4)2  48  0
ÖRNEKLER :
1. 2x3  3x2  18x  27  0 2. 3(x  4)2  48  0

x2 (2x  3)  9(2x  3)  0 3[(x  4)2  16]  0  (x  4)2  42  0
(2x  3) (x2  9)  0 (x  4)  4  0 V (x  4)  4  0
(2x  3) . (x  3) (x  3)  0 x  8  0 x  0
2x  3  0 V x  3  0 V x  3  0 x  8
x   x  3 x  3 Ç  {0, 8}
Ç 

A) RASYONEL DENKLEMLER
 0  P(x)  0  Q(x)  0
ÖRNEK:
denkleminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:

(1) (2x  1) (x  4) (2x  1) (x  4)

27  4x2  2x  6x  24  2x2  7x  4
6x2  x  1  0  (2x  1) (3x  1) = 0
x  x  Ç 

B) YARDIMCI BİLİNMEYEN KULLANILARAK ÇÖZÜLEN DENKLEMLER
(DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME)

ÖRNEK: x6  26x3  27  0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM:

x3  t olsun x6  (x3)2  t2 olur.

Buradan denklem
t2  26t  27  0 biçimine dönüşür.
 (t  27) . (t  1)  0
t  27  0 V t  1  0
t  27 t  1
x3  27 x3  1
x  3 x  1

Ç  {3,1}

C) KÖKLÜ DENKLEMLER

n  N+ ve P(x)  R[x] olmak üzere

1. ifadesi x  R için tanımlıdır
2. ifadesi, P(x)  0 koşulunu gerçekleyen x’ler için tanımlıdır.

Köklü denklemler çözülürken genelde şu yol izlenir:

1. Köklü ifade ( ya da köklü ifadelerden birisi) eşitliğin bir yanında yalnız bırakılır.
2. Her iki taraf uygun kuvveti alınarak, denklem kökten kurtarılır.
3. Kökten kurtulmuş denklem çözülerek bulunan çözümlerin yukarıda belirtilen koşullara uygun olup olmadığına ya da denklemi sağlayıp sağlamadığına bakılarak denklemin çözüm kümesi bulunur.

ÖRNEK:
denkleminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:
eşitliğinin sağlanması için,
x  6  0 ve x  4  0  x  4 olmalıdır.

x  6 = x2  8x  16  x2  7x  10  0
(x  5) (x  2)  0  x  5 V x  2
 Ç  {2}

D) ÜSLÜ DENKLEMLER
ÖRNEK:
denkleminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:
dir.
(x3) (x2)  0  x  3  0 V x  2  0
 x  3 x  2
Ç  {2, 3}
F) MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER
Mutlak değerli ifade içeren bir denklemi çözmek için yapılacak ilk işlem, gerçel sayılarda mutlak değer tanımını kullanarak mutlak değeri kaldırmaktır. Bunu şöyle açıklayabiliriz.
n  N


ÖRNEK:
x2  |x| 2  0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:
x2  |x|  2  0
 x2  (x)  2  0
 x2  x  2  0
 (x  2) . (x  1)  0
x  2 x  1
Ç1  {2}
x  0  |x|  x dir.
 x2  x  2  0
(x  2) (x  1)  0
x  2 V x  1
Ç2  {2}
Denklemin çözüm kümesi ise Ç  Ç1  Ç2 dir. Buradan Ç = {2, 2} bulunur.
DENKLEM SİSTEMLERİ
ÖRNEK:
sisteminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:
x  y  20  y  20  x, x .y  64  x . (20  x)  64
20x  x2  64  x2  20x  64  0
 (x  16) (x  4)  0, x1  16 V x2  4
 y1  20  16  y2  20  4
y1  4 y2  16
Ç  {(16, 4) , (4, 16)}
ÖRNEK:
sisteminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:

2x  3y  12 




Ç 

PAREMETRELİ DENKLEMLER
İçinde x değişkeninden başka sabit ya da sabitler bulunan denklemlere parametreli denklemler denir.
Örneğin; mx2  (m  1)x  2m  3  0 denklemindeki parametre m ; 2x2  (a  b)x  a . b  0 denklemindeki parametreler a ve b dir.
ÖRNEK:
(m  3)x2  2mx  3(m  1) = 0 denkleminin köklerinden birisi (1) ise m kaçtır?
ÇÖZÜM:
(m  3)x2  2mx  3(m  1)  0
x  1 için (m  3) (1)2  2m(1)  3(m  1)  0
m  3  2m  3m  3  0
6m  6  m  1
ÖRNEK:
mx2  2(m  1)x  m  5  0 denkleminin birbirine eşit iki kökünün olabilmesi için (m) kaç olmalıdır?
ÇÖZÜM:
x1  x2 ise   0 olmalıdır.
 (b’)2  ac  0  [  (m  1)]2  m(m  5)  0
m2  2m  1  m2  5m  0  m 

UYARI
İkinci dereceden bir bilinmeyenli bir iki denklemin birer kökleri aynı (ortak) ise, bu iki denklemdeki x2 li terimler yok edilir. Bulunan x değeri, denklemlerin ortak kökü olur.

ÖRNEK:
denklemlerinin çözüm kümesi eşit ise (m, n) ikilisi nedir?
ÇÖZÜM:
1. YOL : Çözüm kümeleri eşit ise denklemlerde birbirine eşit olmalıdır.
3 / 2x2  (n  1)x  m  6  0
2 / 3x2  2x  2m  1  0

3(n 1)  4 ve 3m  18  4m  2
7m  20
m 

İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR
ax2  bx  c  0 denkleminin diskriminantı   b2  4ac ve kökleri ve idi.
Buna göre ;
1. Köklerin toplamı :
2. Köklerin çarpımı :
3. Köklerin farkı :
4. Köklerin çarpma işlemine göre terslerinin toplamı :
5. Köklerin karelerinin toplamı :

6. Köklerin karelerinin çarpma işlemine göre terslerinin toplamı :


7. Köklerin küplerinin toplamı :

8. Köklerinin küplerinin çarpma işlemine göre terslerinin toplamı :

UYARI
Köklerle katsayılar arasında verilen bağıntılardan ilk üçünün esas alınarak, diğerlerinin bunlardan ve özdeşliklerden yararlanılarak elde edildiğine dikkat ediniz.

ÖRNEK:
2x2  4x  m  3  0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
x12  x22  4 ise m kaçtır?

ÇÖZÜM:
Denklemde a  2, b  4, c  m  3 dür.
x12  x22  4  

16  4m  12  16
m  3
ÖRNEK:
2x2  7x –1  0 denkleminin köklerinin 3 er eksiğinin çarpımı kaçtır?
ÇÖZÜM:
Denklemin kökleri x1, x2 olsun.
İstenen bağıntı (x1  3) . (x2  3) dür.
Buna göre;
(x1  3) . (x2  3)  x1x2  3x1  3x2  9
 x1 . x2 3 . (x1  x2)  9 
 olur.
KÖKLERİ VERİLEN DENKLEMİ BULMAK
Kökleri x1, x2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler, (x  x1) . (x  x2)  0 biçimindedir. Bu denklem düzenlenirse, x2  (x1  x2) . x  (x1 . x2)  0 denklemi elde edilir.
ÖRNEK:
Kökleri 3 ile 2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem nedir?
ÇÖZÜM:
olduğundan denklem,
x2  (x1  x2) . x  (x1 . x2)  0  x2  (1) . x  (6)  0
 x2  x  6  0 dır.

ÖRNEK:
Katsayıları rasyonel sayı olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin köklerinden birisi x1  3  dir. Bu denklem nedir?
ÇÖZÜM:
UYARI
a, b, c, p, q  Q olmak üzere ax2  bx  c  0 denkleminin bir kökü x1  p  ise x2  p  dur.
Buna göre x1  3  ise x2  3  dür.

dir.
Denklem, x2  (x1  x2)x  (x1 . x2) = 0
x2  6x  7 0 olur.










ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
1. x2  x  |1x|  0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:

x(x1)  (x1)  0
(x  1) (x  1) 0
x  1
Ç  {1}
2. denkleminin köklerinin çarpımı kaçtır?
ÇÖZÜM:

olsun.

 t  3 V t  2

6x  3  x  3 x  3  4x  2


3. denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. |x1  x2| nedir?
ÇÖZÜM:

x1 = 21 x2  5
|x1  x2|  |21  5|  16
4. 3x  1  3x  2  3x  3  3x  4  768 denklemini sağlayan x değeri nedir?
ÇÖZÜM:

5. sistemini sağlayan y değeri nedir?
ÇÖZÜM:

x  y  z  19  (x  z)2  (19  y)2
x2 z2  2xz  361  38y  y2
133  y2  2y2  361  38y  y2
38y  228  y  6
6. Köklerinden birisi  2 olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem nedir?
ÇÖZÜM:
ise
x2  2  dir.

 4  3  1
Denklem,
x2(x1  x2)x  (x1 . x2)  0
 x2  (4)x  1  0
 x2  4x 1  0 olur.

7. mx2  2(m  2)x  m  3 = 0 denkleminin kökleri x1, x2 dir. x1  x2  s ve x1 . x2  p olmak üzere, bu denklemin kökleri arasında m’ye bağlı olmayan bağıntı nedir?
ÇÖZÜM:
mx2  2(m  2)x  m  3 = 0

bulunur.

8. 3x2  mx  6  0 denkleminde bağıntısı varsa m kaçtır?
ÇÖZÜM:
Bu denklemde,
4  x1x2  8x1  4  (2)  8x1  x1 
x1 . x2  -2  . x2  2  x2  8
x1  x2 


9. 6x2  11mx  10m2  0 ise nedir?

ÇÖZÜM:

2x 5m
3x 2m
(2x  5m) (3x  2m)  0 ise



10. 2x2  x  m  2 = 0 denkleminin x1 ve x2 kökleri arasında bağıntısı varsa, m tam sayısı nedir?
ÇÖZÜM:

1  4m  8  5m2  20m  20
5m2  24m  27  0
(5m  9) (m  3)  0